avangard-pressa.ru

Задача заміни устаткування - История

Постановка задачі. Нехай r(t) - вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) - щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t) - залишкова вартість устаткування; Р - вартість нового обладнання.

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю N років, причому за ці N років прибуток fN(t), повинний бути максимальний.

Зауваження. У аналізованому процесі вік устаткування відраховується у прямому напрямку, а етапи, на які розбитий процес, в зворотному. Тому t=0 відповідає початку використання нового обладнання.

Складемо функціональне рівняння, визначивши залежність між величинами, що входять до умов задачі, на двох суміжних етапах. Якщо зберегти устаткування, вік котрого t років, то прибуток підприємства від його використання складається з прибутку на N-ому етапі, отриманий як різниця r(t) - L(t) між вартістю виробленої продукції та експлуатаційних витрат, і прибутком, отриманим за N-1 етапів , що залишився , при роботі на устаткуванні, вік котрого t+1 років, тобто
f N(t) = r(t) - L(t) + fN-1(t+1) (1.13)

Якщо на N-ому етапі устаткування, вік котрого t років, замінити новим, то прибуток після такої заміни складається з прибутку, отриманого як S(t) + r(0) - [P + L(0)], де r(0) - вартість продукції, зробленої на устаткуванні, вік котрого 0 років, а L(0) - експлуатаційні витрати, і прибутки, отримані за N-1 етапів , що залишилися в роботі на устаткуванні, вік котрого 0+1 років, тобто

fN(t) = S(t)- P+ r(0)- L(0)+ fN-1(t+1) (1.14)

Об’єднуючи (1.13) і (1.14) одержимо основне функціональне рівняння.

(1.15)

де верхній рядок визначає прибуток, отриманий при роботі на старому устаткуванні, нижній - на новому.

При цьому перехід на нове обладнання відбувається за 1 етап.

Вважаючи в (1.15) N=1 одержуємо функціональне рівняння одноетапного процесу, для котрого fN-1(t+1) і fN-1 (1) не має змісту. Тому

(1.16 )

Рівняння (1.15) і (1.16) дозволяють визначити величину fN(t) у залежності від fN-1(t+1), де при переході від одного етапу до іншого вік устаткування збільшується від t до t+1, а число етапів зменшується від N до N-1.

Приклад. Нехай Р=10, а S(t) = 0, тобто устаткування цілком себе окупило; r(t) - L(t) = (t), (t) - задано в таблиці 6.

Таблиця 6

t (t)

Рівняння (1. 15-1. 16) приймають такий вигляд

(1.17 )

(1.18 )

Послідовно обчислимо максимальні fN(t) для
N =1;2;...;12 при t = 0;1; ...; 12, використовуючи значення (t) із таблиці 6.

При N=1 процес одноетапний, тому використовуємо (1.18)

і так далі. Результати в таблиці 7

Таблиця 7

t етапи N N-1 f1(t) f2(t) f3(t) f4(t) f5(t) f6(t) f7(t) f8(t) f9(t) f10(t) f11(t) f12(t)

При N > 2 використовуємо (1.17)

і т.д.

Для знаходження величини f2(t) необхідно знайдені значення f1(t) скласти в такому порядку:

f2(0) = f1(0) + f1(1)

f2(1) = f1(1) + f1(2)

і т.д., потім кожне отримане значення порівняти з f1(1), тобто з 9. Якщо f1(1) > f2(t), то обчислення припиняються. У цей момент устаткування необхідно замінити, тому що розмір прибутку, одержуваного в результаті заміни, більше, ніж у випадку використання старого. Відзначаємо цей момент V і обчислення припиняємо. При N=3 із (4.17) випливає, що

f3(0) = f1(0) + f2(1)

f3(1) = f1(1) + f2(2)

f3(2) = f1(2) + f2(3) і т.д.

Обчислення припиняємо, якщо f3(k) < f2(1) = 17.

Узагальнимо отримані результати. Починаючи з N=2, обчислення проводимо по формулі f2+n(t)=f1(t)+f1+n(t+1) n = 0;1;2 ... , t =0;1;2; ..., порівнюючи отримані f із f1+n(1). Якщо f1+n(1)>f2+n(t), обчислення припиняємо (заміна устаткування). Тому всі обчислення можна проводити без функціонального рівняння, безпосередньо в таблиці 7. За умовою, довжина етапу збігається з роком, тому рішення закінчуємо на дванадцятиетапному процесі.

За результатами обчислень, приведеними у таблиці 7 і лінії, що розмежовує області рішень зберігання і заміни устаткування, знаходимо оптимальний цикл заміни устаткування. У дванадцятиетапному процесі устаткування повинно бути замінене через чотири роки, тобто на 8-ом етапі; у восьмиетапному процесі - через чотири роки, тобто на 4-ом етапі, у чотирьохетапному процесі устаткування повинно замінятися також через 4 роки.

Таким чином, для одержання max прибутків в 12-ти етапному процесі оптимальний цикл складається в заміні устаткування кожні 4 роки.

Якщо в задачі заміни устаткування покласти, що вік устаткування t і етапи N відраховуються в прямому напрямку, то функціональне рівняння приймає такий вигляд

(1.19 )

де f(t) - сумарний прибуток, отриманий починаючи з N етапу і до кінця процесу на устаткуванні вік котрого t років на N-ом етапі. Верхня строчка визначає прибуток при зберіганні устаткування, нижня - при його заміні. Тут r(t) - вартість продукції, зробленої на N-ом етапі на одиниці устаткування; LN(t) - витрати; r(0) - вартість продукції, зробленої на одиниці нового обладнання, LN(0), відповідно, витрати, UN(t) = PN - SN(t) - витрати по заміні устаткування на N етапі віку t років.

Необхідно в десятиетапному процесі тривалістю 10 років знайти цикл заміни устаткування, вік якого три роки, якщо відомі оцінки ефективності використання старого (таблиця 8) і нового (таблиця 9) устаткування, починаючи з моменту його виготовлення і до кінця аналізованого періоду.

Таблиця 8

Вік устаткування r(t) L(t) U(t)

Час виготовлення устаткування відраховується від початку процесу, тобто якщо нове обладнання виготовлене в 1-ий рік, то старе устаткування має вік 3 роки, якщо в 2-ий - чотири роки і т.д.

Таблиця 9

Час виготовлення устаткування. Вік устатку-вання у 1-й рік r(t) L(t) U(t) у 2-й рік r(t) - L(t) - U(t) - у 3-й рік r(t) - - L(t) - - U(t) - - у 4-й рік r(t) - - - L(t) - - - U(t) - - - у 5-й рік r(t) - - - - L(t) - - - - U(t) - - - - у 6-й рік r(t) - - - - - L(t) - - - - - U(t) - - - - - у 7-й рік r(t) - - - - - - L(t) - - - - - - U(t) - - - - - - у 8-й рік r(t) - - - - - - - L(t) - - - - - - - U(t) - - - - - - - у 9-й рік r(t) - - - - - - - - L(t) - - - - - - - - U(t) - - - - - - - - у 10-й рік r(t) - - - - - - - - - L(t) - - - - - - - - - U(t) - - - - - - - - -

Рішення починаємо з кінця процесу N=10, тобто знаходимо

(1.20)

Надаючи t=1; ...; 10 і з огляду на те, що устаткування, вік якого t років, виготовлено в 10-t рік від початку процесу, на підставі даних таблиці 9, одержуємо (використовуючи оцінки устаткування виготовлені в 9 і 10-й роки)

і т.д.

При t = 10; 11; 12 для визначення r10(t), L10(t), U10(t) використовуємо оцінки старого устаткування, приведені в таблиці 8

і т.д. Результати записуємо в таблицю 10.

Для знаходження наступних f(t) при t = 9, 8, ..., 1 використовуємо результати таблиці 10 і рівняння (1.19). При N=9 і t=1; ...; 12 одержуємо

і т.д. При t = 9; 10; 11; 12 використовуємо оцінки, приведені в таблиці 8

і т.д.

Таблиця 10

t fN(t) N f10(t) -25 -35 -40 f9(t) -15 -25 -25 f8(t) f7(t) f6(t) f5(t) f4(t) f3(t) f2(t) f1(t)

Лінія розмежовує області рішень, що полягають у зберіганні і заміні устаткування.

Т.ч. для одержання максимального прибутку від використання устаткування в 10-ти етапному процесі оптимальний цикл заміни устаткування повинний складатися в заміні устаткування на 1-ому етапі, вік котрого 3 роки. Нове обладнання використовується до 5-го етапу, на якому воно знову замінюється, робота на цьому устаткуванні продовжується до 10 етапу, на якому воно знову замінюється

Задача планування виробництва з