avangard-pressa.ru

Задача об оптимальном составе сплава - Математика

Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV. Характеристики и запасы руд, из которых получают эти металлы, указаны в табл. 48.

Требования к содержанию металлов I, II, III и IV в сплавах, а также стоимости одной тонны сплавов при продаже приведены в табл. 49.

Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

Таблица 48

Руда Максимальный запас, тонны Состав, % Цена, доллары за тонну I II III IV Другие компоненты

Таблица 49

Сплав Требование к содержанию металла Цена одной тонны сплава, в долларах А Не более 80% металла I Не более 30% металла II В От 40% до 60% металла II Не менее 30% металла II Не более 70% металла IV

Решение включает этапы, описанные в пп. 3.2.2 -3.2.5.

Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х1А, Х2А, Х3А, Х4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х1В, Х2В, Х3В, Х4В.

Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y1, Y2, Y3.

Объем производимого сплава А (в тоннах) равен

Х1А + Х2А + Х3А + Х4А.

Аналогично объем сплава В равен

Х1В + Х2В + Х3В + Х4В.

Прибыль от продажи сплава А составит

Z1 = 200 (Х1А + Х2А + Х3А + Х4А), (16)

а прибыль от продажи сплава В равна

Z2 = 210 (Х1В + Х2В + Х3В + Х4В). (17)

Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна

Z3 = 30 Y1 + 40 Y2 + 50 Y3. (18)

Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды

Z = Z1 + Z2 - Z3. (19)

Или, подставляя выражения (16), (17) и (18) получим

Z = 200 (Х1А + Х2А + Х3А + Х4А) + 210 (Х1В + Х2В + Х3В + Х4В) -30 Y1-40 Y2 – 50 Y3 (20).

2. Определение ограничений на переменные

Можно выделить четыре вида ограничений:

а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно

(21)

б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.49, получаем

(22)

в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 48:

(23)

г) ограничения по запасам руды:

(24)

Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х1А, Х2А, Х3А, Х4А, Х1В, Х2В, Х3В, Х4В и руд Y1, Y2, Y3, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (20) при выполнении ограничений (21) – (24).

Построение начального плана решения

1. Отведем под переменные Х1А, Х2А, Х3А, Х4А диапазон ячеек В4:В7 электронной таблицы (в табл. 50 ЭТ приведена в режиме показа вычислений, в табл. 51 – в режиме показа формул Excel, в табл. 52 – показа формул в Calc).

Таблица 50

A B C D E F G H I J K Оптимальный состав сплава Сплав Металл А В Руда Состав металлов Номер Затраты Запас Цена I II III IY 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2 0,3 0,3 0,05 0,1 0,7 0,2 Ограничения Левая часть Правая часть Целевая функция

2. Для хранения переменных Х1В, Х2В, Х3В, Х4В отведем диапазон ячеек С4:С7 электронной таблицы.

3. В ячейках Е5:Е7 разместим значения переменных Y1, Y2, Y3. Для всех переменных начальные значения полагаем равными нулю.

4. В диапазоне ячеек F5:F7 вводим значения имеющихся запасов руды из второго столбца табл. 48.

5. В диапазон ячеек G5:G7 вводим цены за одну тонну руды из последнего столбца табл. 48.

6. В диапазон ячеек Н5:К7 помещаем характеристики состава руд из столбцов 3 – 6 табл. 49.

7. В ячейки диапазона А10:А15 вводим левые части ограничений (22).

8. В ячейки диапазона Е10:Е15 вводим правые части ограничений (22).

9. В ячейки диапазона А16:А19 вводим левые части ограничений (23).

10. В ячейки диапазона Е16:Е19 вводим правые части ограничений (23).

11. В ячейке А21 размещаем целевую функцию (20).

Оптимизация плана решения

1) Вызываем режим Поиск решения (Сервис – Поиск решения).

2) Заполняем окно Поиск решения (рис. 14а для Excel и 14б для Calc).

3) Командой Выполнить запускаем режим Поиск решения.

Результат его работы представлен в табл. 53.

Таблица 51

A B C D E F G H I J K Оптимальный состав сплава Сплав Металл А В Руда Состав металлов Номер Затраты Запас Цена I II III IY 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2 0,3 0,3 0,05 0,05 0,7 0,2 Ограничения Левая часть Правая часть =В4 =0,8*СУММ(В4:В7) =В5 =0,3*СУММ(В4:В7) =С5 =0,6*СУММ(С4:С7) =С5 =0,4*СУММ(С4:С7) =С6 =0,3*СУММ(С4:С7) =С7 =0,7*СУММ(С4:С7) =СУММ(B4:C4) =СУММПРОИЗВ(E5:E7;H5:H7) =СУММ(B5:C5) =СУММПРОИЗВ(E5:E7;I5:I7) =СУММ(B6:C6) =СУММПРОИЗВ(E5:E7;J5:J7) =СУММ(B7:C7) =СУММПРОИЗВ(E5:E7;K5:K7) Целевая функция =200*СУММ(B4:B7)+210*СУММ(C4:C7)-СУММПРОИЗВ(E5:E7;G5:G7)

В OpenOffice.org Calc строки 8-21 будут иметь вид табл. 52.

Таблица 52

A B C D E F G H I J K Ограничения Левая часть Правая часть =В4 =0,8*SUM(В4:В7) =В5 =0,3* SUM(В4:В7) =С5 =0,6* SUM(С4:С7) =С5 =0,4* SUM(С4:С7) =С6 =0,3* SUM(С4:С7) =С7 =0,7* SUM(С4:С7) =SUM(B4:C4) =SUMPRODUCT(E5:E7;H5:H7) = SUM(B5:C5) =SUMPRODUCTE5:E7;I5:I7) = SUM(B6:C6) =SUMPRODUCT(E5:E7;J5:J7) = SUM(B7:C7) =SUMPRODUCT(E5:E7;K5:K7) Целевая функция =200* SUM(B4:B7)+210*SUM(C4:C7)-SUMPRODUCT(E5:E7;G5:G7)

Excel Microsoft Office

Рис. 14а

OpenOffice.org Calc

Рис. 14б

Таблица 53